Question

【题目】已知 中， .点 从点 出发沿线段 移动，同时点 从点 出发沿线段 的延长线移动，点 、 移动的速度相同， 与直线 相交于点 .
（1）如图①，当点 为 的中点时，求 的长；

（2）如图②，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，当点 、 在移动的过程中，设 ， 是否为常数？若是请求出 的值，若不是请说明理由.

（3）如图③，E为BC的中点，直线CH垂直于直线AD，垂足为点H，交AE的延长线于点M；直线BF垂直于直线AD，垂足为F；找出图中与BD相等的线段，并证明.

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，过P点作PF∥AC交BC于F，

∵点P和点Q同时出发，且速度相同，

∴BP=CQ，

∵PF∥AQ，

∴∠PFB=∠ACB，∠DPF=∠CQD，

又∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∴∠B=∠PFB，

∴BP=PF，

∴PF=CQ，又∠PDF=∠QDC，

∴△PFD≌△QCD，

∴DF=CD= CF，

又因P是AB的中点，PF∥AQ，

∴F是BC的中点，即FC= BC=6，

∴CD= CF=3

（2）解： 为定值.

如图②，点P在线段AB上，过点P作PF∥AC交BC于F，

易知△PBF为等腰三角形，

∵PE⊥BF

∴BE= BF

∵易得△PFD≌△QCD

∴CD=

∴

（3）解：BD=AM

证明：∵

∴

∴

∵E为BC的中点

∴

∴ ,

∴ ，

∵AH⊥CM

∴

∵

∴

∴ ≌ (ASA)

∴

∴

即：

【解析】（1）根据已知可知BP=CQ，再根据PF∥AQ及AB=AC，证明∠B=∠PFB，得出BP=PF，证得PF=CQ，然后根据角角边证明△PFD≌△QCD，得出DF=CD=CF，根据已知P是AB的中点，PF∥AQ，证明点F是BC的中点，求出CF的长，即可求出CD的长。
（2）点P在线段AB上，过点P作PF∥AC交BC于F，先证明△PBF为等腰三角形，根据PE⊥BF，得出BE与线段BF的数量关系，再证明△PFD≌△QCD ，结合CD= C F，然后根据B E + C D =BC，即可得出结论。
（3）先根据勾股定理的逆定理证明ΔABC是等腰直角三角形， 再根据E为BC的中点，去证明AE=EC，∠EAD = ∠ECM，然后证明△AED≌△CEM，得出DE=ME，根据BD=DE+BE=AE+ME=AM。即可得出结论。