Question

【题目】如图，⊙O的弦AD∥BC，过点D的切线交BC的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO及其延长线分别交AC，BC于点G，F.

（1）求证：DF垂直平分AC；

（2）若弦AD=10，AC=16，求⊙O的半径.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径为.

【解析】

（1）根据“切线的性质和垂径定理”进行分析证明即可；

（2）如下图，连接AO，由垂径定理可得AG=AC=8，这样在Rt△ADG中由勾股定理可得GD=6，设⊙O的半径为r，则OG=r-6，由此在Rt△AOG中由勾股定理建立关于r的方程，解方程即可求得r的值.

（1）∵DE是⊙O的切线，且DF过圆心O，

∴DF⊥DE.

又∵AC∥DE，∴DF垂直平分AC.

（2）如下图，连接AO，

∵AG=GC，AC=16，

∴AG=8.

∴在Rt△AGD中，GD=，

设⊙O的半径为r，则OG=r-6，

∵ 在Rt△AOG中，，

∴.

解得r=.即⊙O的半径为.