Question

【题目】点C是直线l1上一点,在同一平面内,把一个等腰直角三角板ABC任意摆放,其中直角顶点C与点C重合,过点A作直线l2⊥l1,垂足为点M,过点B作l3⊥l1,垂足为点N

（1）当直线l2,l3位于点C的异侧时,如图1,线段BN,AM与MN之间的数量关系 (不必说明理由)；

（2)当直线l2,l3位于点C的右侧时,如图2,判断线段BN,AM与MN之间的数量关系,并说明理由；

（3)当直线l2,l3位于点C的左侧时,如图3,请你补全图形,并直接写出线段BN,AM与MN之间的数量关系.

Answer 1

【答案】（1）MN=AM+BN；（2）MN=BN-AM，见解析；（3）见解析，MN=AM﹣BN．

【解析】

（1）利用AAS定理证明△NBC≌△MCA，根据全等三角形的性质、结合图形解答；
（2）根据直角三角形的性质得到∠CAM=∠BCN，证明△NBC≌△MCA，根据全等三角形的性质、结合图形解答；
（3）根据题意画出图形，仿照（2）的作法证明．

（1）MN=AM+BN

（2）MN=BN-AM

理由如下：如图2.

因为l2⊥l1，l3⊥l1

所以∠BNC=∠CMA=90°

所以∠ACM+∠CAM=90°

因为∠ACB=90°

所以∠ACM+∠BCN=90°

所以∠CAM=∠BCN

又因为CA=CB

所以△CBN≌△ACM（AAS）

所以BN=CM，NC=AM

所以MN=CM﹣CN=BN﹣AM

（3）补全图形，如图3

结论：MN=AM﹣BN

由（2）得，△CBN≌△ACM（AAS）．
∴BN=CM，NC=AM
结论：MN=CN-CM=AM-BN．