Question

【题目】如图，在以A、B、C、D、E为顶点的五面体中，AD⊥平面ABC，AD∥BE，AC⊥CB，AB=2BE=4AD=4．
（1）O为AB的中点，F是线段BE上的一点，BE=4BF，证明：OF∥平面CDE；
（2）当直线DE与平面CBE所成角的正切值为 时，求平面CDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1，取BE中点G．连接AG，

∵AD∥BE，AB=2BE=4AD=4．∴AD+EG，AD∥EG

∴四边形ADEG为平行四边形，即AG∥ED，

又∵O为AB的中点，F是线段BE上的一点，BE=4BF，

∴F为BG中点，OF∥AG，OF∥DE

∵OF面CDE，DE面CDE，∴OF∥平面CDE

（2）如图2，由（1）得AG∥DE，∴直线DE与平面CBE所成角等于直线AG与平面CBE所成角．．

∵AD⊥平面ABC，AD∥BE，AC⊥CB，∴ AC⊥面BCE．

连接CG，∴∠AGC就是直线AG与平面CBE所成角，∴tan∠AGC= ，可得sin

又∵AG= ，∴AC=2 ，

在直角△ABC中，∵AB=4，∴BC=2 ，

连接OC，可得OC⊥AB，故以O为原点，射线OC，OB分别为x，y轴，建立空间直角坐标系，

则C（2，0，0），A（0，﹣2，0），D（0，﹣2，1），B（0，2，0），E（0，2，2）．

设面CDE的法向量为 ， ，

由 ，可得 ，

可知平面ABC的法向量为 ．

∴cos＜ ， ＞= ．

平面CDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值为

【解析】（1）如图1，取BE中点G．连接AG，只需AG∥ED∥OF即可得到OF∥平面CDE（2）由（Ⅰ）得AG∥DE，∴直线DE与平面CBE所成角等于直线AG与平面CBE所成角． 易得AC⊥面BCE．连接CG，∴∠AGC就是直线AG与平面CBE所成角，∴tan∠AGC= ，可得 AC=2 ，BC=2 ，
连接OC，可得OC⊥AB，故以O为原点，射线OC，OB分别为x，y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可．
【考点精析】利用直线与平面平行的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．