Question

【题目】函数f（x）= +a（x﹣1）﹣2．
（1）当a=0时，求函数f（x）的极值；
（2）若对任意x∈（0，1）∪（1，+∞），不等式 ＜ 恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=0时，f（x）= ﹣2．x＞0，

∴f′（x）=

令f′（x）=0，解得x= ，

当f′（x）＞0时，即0＜x＜ ，函数单调递增，

当f′（x）＜0时，即x＞ ，函数单调递减，

∴当x= 时，函数f（x）有极大值，极大值为f（ ）=e﹣2，无极小值；

（2）解：原不等式等价于 + ＞0，即 ＞0，

∴ [lnx+a（x2﹣1）﹣2（x﹣1）]＞0，

令g（x）=lnx+a（x2﹣1）﹣2（x﹣1），g（1）=0，

∴g′（x）= +2ax﹣2= ，

∵ [lnx+a（x2﹣1）﹣2（x﹣1）]＞0，

g（2）=ln2+3a﹣2＞0a＞ ＞0，

①当a≥ 时，2ax2﹣2x+1≥x2﹣2x+1≥（x﹣1）2＞0，

∴g′（x）＞0，

∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，

∴x∈（0，1），g（x）＜0，x∈（1，+∞），g（x）＞0，

∴ g（x）＞0，

②当0＜a＜ 时，令2ax2﹣2x+1=0，解得x= ＞1，

∴x∈（1， ）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，

∴g（x）＜g（1）=0，

∴ g（x）＜0，不合题意，舍去，

综上所述a≥

【解析】（1）先求导，根据导数和函数的极值的关系即可求出，（2）原不等式等价于 + ＞0，即 ＞0，构造函数g（x）=lnx+a（x2﹣1）﹣2（x﹣1），根据导数和函数的最值得关系，分类讨论即可证明
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．