Question

【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线 y=kx+b与x 轴、y 轴相交干A(6，0)，B(0，3)两点，动点C在线段OA上,将线段CB 绕着点C顺时针旋转90°得到CD,此时点D恰好落在直线AB上,过点D 作DE⊥x 轴于点E

(1)求直线y=kx+b 的表达式及点D 的坐标；

(2)若点P在y 轴上,点Q在直线AB上,是否存在以C、D、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,直接写出所有满足条件的Q 点坐标，若不存在,请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）D（4，1）;（2）Q的坐标为或

【解析】

（1）用待定系数法先求出直线解析式，由旋转角为90°，可证得∠BCO=∠CDE，从而得到△BOC≌△CED，所以OC=DE，BO=CE=3，设OC=DE=m, 则点D（m+3，m），代入解析式求出m,进而得到点D的坐标.（2）分三种情况画出图形，结合平行四边形的性质求出点的坐标即可.

解：

（1）将A（6，0）、B（0，3）代入直线y=kx+b得，

∴

，

∵∠BOC=∠BCD=∠CED=90°，

∴∠OCB+∠DCE=90°，∠DCE+∠CDE=90°，

∴∠BCO=∠CDE，

∵BC=CD，

∴△BOC≌△CED，

∴OC=DE，BO=CE=3，

设OC=DE=m,

∴D（m+3，m）

把D（m+3，m）代入得，

，

∴m=1 ，

∴D（4，1），

（2）如图，①作CP∥AB交y轴于P,作PQ∥CD交AB于Q,则四边形PCDQ是平行四边形，设,将C（1，0）代入得，b=,

∴，

∴P（0，），

∵点C向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到D,

∴点P向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到Q,

∴Q

② 作P′Q′∥CD交y轴于P′,交AB于Q′,则四边形Q′CDP′是平行四边形，

∵PQCD，P′Q′CD，

∴PQ P′Q′，

∴P′Q′PQ是平行四边形，

∴Q′,Q关于点B对称，

∴Q′，

③ 当CD为对角线时，四边形DPCQ′′为平行四边形，

同①，由平移可得Q′′，

∴Q的坐标为或