Question

【题目】如图1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=2，AC、BD相交于点O．

（1）AB的长为　 　；

（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF与AC相交于点G．

①求证：△ABE≌△ACF；

②判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）①见解析；②△AEF是等边三角形，理由见解析

【解析】分析：（1）利用菱形对角线互相垂直且平分可得AO、OB，根据勾股定理求出即可；

（2）①由（1）知，菱形ABCD的边长是2，AC=2，然后由△ABC和△ACD是等边三角形，利用ASA可证得△ABE≌△ACF；

②由①可得AE=AF，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形推出即可．

详解：（1）∵在菱形ABCD中，AC=2，BD=2，

∴∠AOB=90°，OA=AC=1，BO=BD=，

在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB==2；

故答案为：2；

（2）①∵由（1）知，菱形ABCD的边长是2，AC=2，

∴△ABC和△ACD是等边三角形，

∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，

∵∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°，

∴∠BAE=∠CAF，

在△ABE和△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF（ASA），

②△AEF是等边三角形，

理由是：∵△ABE≌△ACF，

∴AE=AF，

∵∠EAF=60°，

∴△AEF是等边三角形．