Question

【题目】如图，四边形ABCD是平行四边形，点A(1，0)、B(3，1)、C(3，3)；反比例函数 （x>0）的图象经过点D，点P是一次函数 y=kx+33k (k≠0)的图象与该反比例函数图象的一个公共点.

（1）求反比例函数的关系式；
（2）通过计算：说明一次函数 y=kx+33k 的图象一定经过点C；
（3）当一次函数 y=kx+33k 的图象平分平行四边形ABCD的面积时，求此一次函数的关系式。

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵A(1，0)、B(3，1)、C(3，3)，
∴D(1，2)，
∵D(1，2)在反比例函数y= （x>0）的图象上，

∴m=1×2=2，

∴反比例函数的关系式为 （x>0）.

（2）解：∵C(3，3)，
∴3k+33k =3.
∴一次函数 y=kx+33k 的图象一定经过点C.

（3）解：∵ 一次函数 y=kx+33k 的图象平分平行四边形ABCD的面积，
∴一次函数 y=kx+33k 的图象经过点A，
又∵ A(1，0)，
∴ k+33k=0 ，
∴k=.
∴一次函数的关系式为: y=x.

【解析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC；又知A(1，0)、B(3，1)、C(3，3)，从而得出D(1，2)，再由D(1，2)在反比例函数图象上，从而求出m的值.
（2）将点C(3，3)坐标代入一次函数解析式，从而得出一次函数 y=kx+33k 的图象一定经过点C.
（3）由一次函数 y=kx+33k 的图象平分平行四边形ABCD的面积，从而得出一次函数 y=kx+33k 的图象经过点A；再将A(1，0)点坐标代入一次函数解析式，从而得k的值，即可得出一次函数解析式.
【考点精析】解答此题的关键在于理解确定一次函数的表达式的相关知识，掌握确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法，以及对平行四边形的性质的理解，了解平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．