Question

【题目】如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，∠B＝60°，AB＝10，BC＝4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP＝x，
（1）求AD的长；
（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；
（3）直接写出：当△CDP为等腰三角形时x的值.

Answer 1

【答案】
（1）解：过点D作DE//BC交AB于点E，
∵BE//CD，DE//BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，
又∵BC＝4，
∴DE=BC=4，
∵DE//BC，∠B＝60°，
∴∠DEA=∠B＝60°，
∵AD⊥AB，
∴∠A=90°，
∴∠ADE= 90°-∠DEA=30°，
∴AE=DE=2，
∴AD==2.

（2）解：∵△ADP中，∠A=90°，
∴△PBC是直角三角形，
∵∠B＝60°，
∴∠BPC=90°或∠BCP=90°，
①当∠BPC=90°时，△BCP≌△EDA，
∴AE=BP=2，CP=AD=2，
∴AP=x=AB-BP=10-2=8，
∴≠，
又∵∠A=∠BPC=90°，
∴△ADP与△CPB不相似；
②当∠BCP=90°时，∠BPC=90°-∠B=30°，
∵BC＝4，AB＝10，
∴BP=2BC=8，AP=x=AB-BP=10-8=2，
∴==2，
又∵∠A=∠BCP=90°，
∴△ADP∽△CPB，
综上可知，x=2时，结论成立.
（3）解：①当PD=PC时，x=4；
②DP=DC时， x= 2 ；
③PC=CD时，x=8-2.
【解析】解：（3）作CF⊥AB交AB于F，

∵BC＝4，∠B＝60°，
∴BF=BC=2，
∵AB＝10，
∴AF=CD=10-2=8，
∵AP=x，AD=2，
∴PF=8-x，CF=2，
①当PD=PC时，
∴AD2+AP2=PF2+CF2，
即x2=（8-x）2，
∴x=4；
②DP=DC=8时，
∴AD2+AP2=DP2，
即12+x2=64，
∴x= 2 ；
③PC=CD=8时，
∴PF2+CF2=PC2，
即12+（8-x）2=64，
∴x=8-2.

【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和平行四边形的判定与性质的相关知识点，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积才能正确解答此题．