【题目】如图1，在平面直角坐标系中，有矩形AOBC，点A、B的坐标分别为（0，4）、（10,0），点P的坐标为（2，0），点M在线段AO上，点N在线段AC上，总有∠MPN=90 ，点M从点O运动到点A，当点M运动到A点时，点N与点C重合（如图2）。令AM=x

（1）.直接写出点C的坐标___________；

（2）、①设MN2=y，请写出y关于x的函数关系式，并求出y的最小值；

②连接AP交MN于点D，若MN⊥A P，求x的值；

（3）、当点M在边AO上运动时，∠PMN的大小是否发生变化？请说明理由.

图1 图2

参考答案：

【答案】（1）点C的坐标为（10，4）（2）①x=4时，y有最小值20；②；（3）不发生变化.

【解析】（1）由已知条件求出点C的坐标；（2）过N点作NQ⊥OP的辅助线，利用相似三角形得出二次函数解析式，再求出y的最小值；（3）利用A、M、P、N在以MN为直径的⊙E上，（或求tan∠PMN为一定值），判断∠PMN的大小是否发生变化.

（1）点C的坐标为（10，4）

（2）①过N点作NQ⊥OP，垂足为Q

∴△POM∽△NQP，

∴

∴PQ=8－2x

∴MN2=AM2+ AN2

∴y= x2+(10－2 x) 2=5 x 2－40 +100=5(x－4) 2+20(0≤x≤4)

∴当x=4时，y有最小值20；

②取MN的中点E，连AE、PE，

∵∠MAN=∠MPN=90°

∴A、M、P、N在以MN为直径的⊙E上

由垂径定理可知AD=PD，∴AM=PM=x

在Rt△POM中，

∴ ， 解得

（3）∠PMN的大小不发生变化

方法1，∵A、M、P、N在以MN为直径的⊙E上

∴∠PMN=∠PAN

∴∠PMN的大小不发生变化

方法2，∵△POM∽△NQP

∴tan∠PMN==2

∴∠PMN的大小不发生变化

“点睛”此题考查矩形的性质，二次函数，相似三角形，垂径定理，勾股定理以及关于点运动变化变化的情况，解题时要多角度考虑解法．

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