Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+6x+c（a≠0）交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，﹣5），点B的坐标为（1，0）．

（1）求此抛物线的解析式及定点坐标；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C的位置关系，并说明理由；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（0，﹣5），B（1，0）代入y=ax2+6x+c得 ，解得 ，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5，

∵y=﹣（x﹣3）2+4，

∴抛物线的顶点坐标为（3，4）；

（2）

解：抛物线的对称轴与⊙C相离．理由如下：

当y=0时，﹣x2+6x﹣5=0，解得x1=1，x2=5，则C（5，0），

∴BC=4，

在Rt△OAB中，AB= = ，

作CE⊥BD于E点，如图1，

∵AB⊥BD，

∴∠ABO+∠CBE=90°，

而∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠BAO=∠CBE，

∴Rt△ABO∽Rt△BCE，

∴ = ，即 = ，

∴CE= ，

∵⊙C与BD相切，

∴⊙C的半径为 ，

∵点C到对称轴x=3的距离为2，

而2＞ ，

∴抛物线的对称轴与⊙C相离；

（3）

解：存在．

（I）当∠PCA=90°时，如图3，CP交y轴于Q，

∵A（0，﹣5），C（5，0），

∴△AOC为等腰直角三角形，∠OCA=45°；

∵PC⊥AC，

∴∠PCO=45°，

∴△OCQ为等腰直角三角形，

∴OQ=OC=5，

∴Q（0，5），

易得直线CQ的解析式为y=﹣x+5，

解方程组 得 或 ，此时点P坐标为（2，3）；

（II）当∠PAC=90°时，如图4，过点P作PF⊥y轴于点F，

∵A（0，﹣5），C（5，0），

∴△AOC为等腰直角三角形，∠OAC=45°；

∵PA⊥AC，

∴∠PAF=45°，即△PAF为等腰直角三角形．

设点P坐标为（t，﹣t2+6t﹣5），

∵AF=PF，

∴﹣5﹣（﹣t2+6t﹣5）=t解得t=0或t=7，此时点P坐标为（7，﹣12），

综上所述，存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．点P的坐标为（2，3）或（7，﹣12）．

【解析】（1）把A（0，﹣5），B（1，0）代入y=ax2+6x+c得关于a、c的方程组，然后解方程组即可，再把解析式配成顶点式即可得到抛物线的顶点坐标；（2）先解方程﹣x2+6x﹣5=0得C（5，0），则BC=4，再利用勾股定理计算出AB= ，作CE⊥BD于E点，如图1，证明Rt△ABO∽Rt△BCE，利用相似比可计算出CE= ，则根据切线的性质得⊙C的半径为 ，然后根据直线与圆的位置关系的判定方法判断抛物线的对称轴与⊙C的位置关系；（3）讨论：当∠PCA=90°时，如图3，CP交y轴于Q，利用△AOC为等腰直角三角形可得到△OCQ为等腰直角三角形，则直线CQ的解析式为y=﹣x+5，于是解方程组 得此时点P坐标；当∠PAC=90°时，如图4，过点P作PF⊥y轴于点F，利用△AOC为等腰直角三角形得到△PAF为等腰直角三角形．设点P坐标为（t，﹣t2+6t﹣5），则﹣5﹣（﹣t2+6t﹣5）=t，然后解方程求出t即可得到此时点P坐标．