Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．
（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当BD=6，AB=10时，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）解：AC与⊙O相切．理由如下：

连结OE，如图，

∵BE平分∠ABD，

∴∠OBE=∠DBO，

∵OE=OB，

∴∠OBE=∠OEB，

∴∠OBE=∠DBO，

∴OE∥BD，

∵AB=BC，D是AC中点，

∴BD⊥AC，

∴OE⊥AC，

∴AC与⊙O相切；

（2）解：设⊙O半径为r，则AO=10﹣r，

由（1）知，OE∥BD，

∴△AOE∽△ABD，

∴ = ，即 = ，

∴r= ，

即⊙O半径是

【解析】（1）连结OE，如图，由BE平分∠ABD得到∠OBE=∠DBO，加上∠OBE=∠OEB，则∠OBE=∠DBO，于是可判断OE∥BD，再利用等腰三角形的性质得到BD⊥AC，所以OE⊥AC，于是根据切线的判定定理可得AC与⊙O相切；（2）设⊙O半径为r，则AO=10﹣r，证明△AOE∽△ABD，利用相似比得到 = ，然后解方程求出r即可．