Question

【题目】（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

在△ABC中，AB＝9，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围。

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：

①延长AD到Q，使得DQ＝AD；

②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；

③利用三角形的三边关系可得4<AQ<14，则AD的取值范围是_____________。

感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的己知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中。

（2）请你写出图1中AC与BQ的位置关系并证明。

（3）思考：已知，如图2，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠FAC＝90°。试探究线段AD与EF的数量和位置关系并加以证明。

Answer 1

【答案】（1）2＜AD＜7；（2）AC∥BQ，理由见解析；（3）EF＝2AD，AD⊥EF，理由见解析

【解析】

（1）先判断出BD＝CD，进而得出△QDB≌△ADC（SAS），得出BQ＝AC＝5，最后用三角形三边关系即可得出结论；

（2）由（1）知，△QDB≌△ADC（SAS），得出∠BQD＝∠CAD，即可得出结论；

（3）同（1）的方法得出△BDQ≌△CDA（SAS），则∠DBQ＝∠ACD，BQ＝AC，进而判断出∠ABQ＝∠EAF，进而判断出△ABQ≌△EAF，得出AQ＝EF，∠BAQ＝∠AEF，即可得出结论．

解：（1）延长AD到Q使得DQ＝AD，连接BQ，

∵AD是△ABC的中线，

∴BD＝CD，

在△QDB和△ADC中， ，

∴△QDB≌△ADC（SAS），

∴BQ＝AC＝5，

在△ABQ中，AB﹣BQ＜AQ＜AB+BQ，

∴4＜AQ＜14，

∴2＜AD＜7，

故答案为：2＜AD＜7；

（2）AC∥BQ，理由：由（1）知，△QDB≌△ADC，

∴∠BQD＝∠CAD，

∴AC∥BQ；

（3）EF＝2AD，AD⊥EF，

理由：如图2，延长AD到Q使得BQ＝AD，连接BQ，

由（1）知，△BDQ≌△CDA（SAS），

∴∠DBQ＝∠ACD，BQ＝AC，

∵AC＝AF，

∴BQ＝AF，

在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，

∴∠BAC+∠ABC+∠DBQ＝180°，

∴∠BAC+ABQ＝180°，

∵∠BAE＝∠FAC＝90°，

∴∠BAC+∠EAF＝180°，

∴∠ABQ＝∠EAF，

在△ABQ和△EAF中， ，

∴△ABQ≌△EAF，

∴AQ＝EF，∠BAQ＝∠AEF，

延长DA交EF于P，

∵∠BAE＝90°，

∴∠BAQ+∠EAP＝90°，

∴∠AEF+∠EAP＝90°，

∴∠APE＝90°，

∴AD⊥EF，

∵AD＝DQ，

∴AQ＝2AD，

∵AQ＝EF，

∴EF＝2AD，

即：EF＝2AD，AD⊥EF．