Question

【题目】如图，A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（-3.0），D为x轴上的一个动点，AE⊥AD，且AE=AD，连接BE交y轴于点M

（1）若D点的坐标为（-5.0），求E点的坐标:

（2）求证:M为BE的中点

（3）当D点在x轴上运动时，探索:为定值

Answer 1

【答案】（1）E(3,-2)；（2）详见解析；（3）

【解析】

(1) 过E点作EF⊥y轴交y轴于F点，先证明△AOD≌△EFA(AAS)，根据全等三角形的性质即可得到E点的坐标；

(2)先把D点的位置画出来，再证明△AOD≌△EFA(AAS)，再根据全等三角形的性质证明△BOM≌△EFM(AAS)，即可证明M为BE的中点；

(3)从(1)(2)的信息可知得到，再结合即可得到的比值为定值；

(1) 过E点作EF⊥y轴交y轴于F点

∵AD⊥AE , EF⊥AF

∠AOD=∠AFE=90°

∵∠DAO+∠EAF=90°

∠EAF+∠AEF=90°

∴∠DAO=∠AEF

在△AOD和△EFA中

△AOD≌△EFA(AAS)

EF=OA=3 AF=OD=5

OF=AF-OA=5-3=2

E(3,-2)

(2)

D点在以上3个位置，

根据题意知道：AE=AD，，

又∵ ，

∴

∴△AOD≌△EFA(AAS)

∴OB=EF ∠BOM=∠EMF=90°

∠BOM=∠EMF

∴△BOM≌△EFM(AAS)

BM=EM=BE

(3) 根据(2)可知，D点在可以在3个位置，

当D点如下图的位置时，过D作直线a⊥x轴与D，过A作AG垂直直线a于G，

由(2)知△BOM≌△EFM(AAS)，

∴EF=OB，

又由(1)知△AOD≌△EFA(AAS)

即：EF=OA =OB，AF=OD

∴ ，

又∵

∴=，

当D在另外两个位置时，同理可证得=；