Question

【题目】探究：如图，分别以△ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ABMN和正方形ACDE，CN、BE交于点P. 求证：∠ANC = ∠ABE.

应用：Q是线段BC的中点，连结PQ. 若BC = 6，则PQ = ___________.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）PQ=3

【解析】试题分析：根据正方形性质得出AN=AB，AC=AE，∠NAB=∠CAE=90°，求出∠NAC=∠BAE，证出△ANC≌△ABE即可．

试题解析：（1）∵四边形ANMB和ACDE是正方形，

∴AN=AB,AC=AE,∠NAB=∠CAE=90°，

∵∠NAC=∠NAB+∠BAC，∠BAE=∠BAC+∠CAE，

∴∠NAC=∠BAE，

在△ANC和△ABE中

∴△ANC≌△ABE(SAS)，

∴∠ANC=∠ABE.

（2）∵四边形NABM是正方形,

∴∠NAB=90°，

∴∠ANC+∠AON=90°，

∵∠BOP=∠AON，∠ANC=∠ABE，

∴∠ABP+∠BOP=90°，

∴∠BPC=∠ABP+∠BOP=90°，

∵Q为BC中点，BC=6，

∴PQ=BC=3，

故答案为：3.