Question

【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2），且抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且B在C的左侧，△ABC有一个内角为60°．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若MN与直线y=﹣2x平行，且M，N位于直线BC的两侧，y1＞y2，解决以下问题：

①求证：BC平分∠MBN；

②求△MBC外心的纵坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2；（2）①证明见解析；②﹣＜y0≤0．

【解析】

（1）由A的坐标确定出c的值，根据已知不等式判断出y1-y2＜0，可得出抛物线的增减性，确定出抛物线对称轴为y轴，且开口向下，求出b的值，如图1所示，可得三角形ABC为等边三角形，确定出B的坐标，代入抛物线解析式即可；

（2）①设出点M（x1，-x12+2），N（x2，-x22+2），由MN与已知直线平行，得到k值相同，表示出直线MN解析式，进而表示出ME，BE，NF，BF，求出tan∠MBE与tan∠NBF的值相等，进而得到BC为角平分线；

②三角形的外心即为三条垂直平分线的交点，得到y轴为BC的垂直平分线，设P为外心，利用勾股定理化简PB2=PM2，确定出△MBC外心的纵坐标的取值范围即可．

（1）∵抛物线过点A（0，2），

∴c=2，

当x1＜x2＜0时，x1-x2＜0，由（x1-x2）（y1-y2）＞0，得到y1-y2＜0，

∴当x＜0时，y随x的增大而增大，

同理当x＞0时，y随x的增大而减小，

∴抛物线的对称轴为y轴，且开口向下，即b=0，

∵以O为圆心，OA为半径的圆与抛物线交于另两点B，C，如图1所示，

∴△ABC为等腰三角形，

∵△ABC中有一个角为60°，

∴△ABC为等边三角形，且OC=OA=2，

设线段BC与y轴的交点为点D，则有BD=CD，且∠OBD=30°，

∴BD=OBcos30°=，OD=OBsin30°=1，

∵B在C的左侧，

∴B的坐标为（-，-1），

∵B点在抛物线上，且c=2，b=0，

∴3a+2=-1，

解得：a=-1，

则抛物线解析式为y=-x2+2；

（2）①由（1）知，点M（x1，-x12+2），N（x2，-x22+2），

∵MN与直线y=-2x平行，

∴设直线MN的解析式为y=-2x+m，则有-x12+2=-2x1+m，即m=-x12+2x1+2，

∴直线MN解析式为y=-2x-x12+2x1+2，

把y=-2x-x12+2x1+2代入y=-x2+2，解得：x=x1或x=2-x1，

∴x2=2-x1，即y2=-（2-x1）2+2=-x12+4x1-10，

作ME⊥BC，NF⊥BC，垂足为E，F，如图2所示，

∵M，N位于直线BC的两侧，且y1＞y2，则y2＜-1＜y1≤2，且-＜x1＜x2，

∴ME=y1-（-1）=-x12+3，BE=x1-（-）=x1+，NF=-1-y2=x12-4x1+9，BF=x2-（-）=3-x1，

在Rt△BEM中，tan∠MBE=

在Rt△BFN中，tan∠NBF=

∵tan∠MBE=tan∠NBF，

∴∠MBE=∠NBF，

则BC平分∠MBN；

②∵y轴为BC的垂直平分线，

∴设△MBC的外心为P（0，y0），则PB=PM，即PB2=PM2，

根据勾股定理得：3+（y0+1）2=x12+（y0-y1）2，

∵x12=2-y1，

∴y02+2y0+4=（2-y1）+（y0-y1）2，即y0=y1-1，

由①得：-1＜y1≤2，

∴-＜y0≤0，

则△MBC的外心的纵坐标的取值范围是-＜y0≤0．