Question

【题目】如图，点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（6，0），点C在第一象限内且△OBC为等边三角形，直线BC交y轴于点D，过点A作直线AE⊥BD，垂足为E，交OC于点F．

（1）求直线BD的函数表达式；
（2）求线段OF的长；
（3）连接BF，OE，试判断线段BF和OE的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵△OBC是等边三角形，

∴∠OBC=60°，OC=BC=OB，

∵点B的坐标为（6，0），

∴OB=6，

在Rt△OBD中，∠OBC=60°，OB=6，

∴∠ODB=30°，

∴BD=12，

∴OD= =6 ，

∴点D的坐标为（0，6 ），

设直线BD的解析式为y=kx+b，则可得 ，

解得： ，

∴直线BD的函数解析式为y=﹣ x+6

（2）

解：∵∠OCB=60°，∠CEF=90°，

∴∠CFE=30°，

∴∠AFO=30°（对顶角相等），

又∵∠OBC=60°，∠AEB=90°，

∴∠BAE=30°，

∴∠BAE=∠AFO，

∴OF=OA=2

（3）

解：连接BF，OE，如图所示：

∵A（﹣2，0），B（6，0），

∴AB=8，

在Rt△ABE中，∠ABE=60°，AB=8，

∴BE= AB=4，

∴CE=BC﹣BE=2，

∴OF=CE=2，

在△COE和△OBF中， ，

∴△COE≌△OBF（SAS），

∴OE=BF．

【解析】（1）根据△OBC是等边三角形，可得∠OBC=60°，在Rt△PBD中，解得OD的长度，得出点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式即可；（2）分别求出∠BAE和∠AFO的度数，即可得出OF=OA=2．（3）在Rt△ABE中，先求出BE，继而得出CE=OF，证明△COE≌△OBF，可得BF和OE的数量关系．
【考点精析】利用一次函数的图象和性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单,经过原点一直线；两个系数k与b,作用之大莫小看，k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减；k为负来左下展,变化规律正相反；k的绝对值越大,线离横轴就越远．