Question

【题目】如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在线段BC上任取一点E，连接DE，作EF⊥DE，交直线AB于点F．
（1）若点F与B重合，求CE的长；
（2）若点F在线段AB上，且AF=CE，求CE的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：当F和B重合时，

∵EF⊥DE，

∵DE⊥BC，

∵∠B=90°，

∴AB⊥BC，

∴AB∥DE，

∵AD∥BC，

∴四边形ABED是平行四边形，

∴AD=EF=9，

∴CE=BC﹣EF=12﹣9=3

（2）解：过D作DM⊥BC于M，

∵∠B=90°，

∴AB⊥BC，

∴DM∥AB，

∵AD∥BC，

∴四边形ABMD是矩形，

∴AD=BM=9，AB=DM=7，CM=12﹣9=3，

设AF=CE=a，则BF=7﹣a，EM=a﹣3，BE=12﹣a，

∵∠FEC=∠B=∠DMB=90°，

∴∠FEB+∠DEM=90°，∠BFE+∠FEB=90°，

∴∠BFE=∠DEM，

∵∠B=∠DME，

∴△FBE∽△EMD，

∴ = ，

∴ = ，

a=5，a=17，

∵点F在线段AB上，AB=7，

∴AF=CE=17（舍去），

即CE=5．

【解析】（1）根据题意画出图形，得出矩形ABEC求出BE，即可求出CE；（2）过D作DM⊥BC于M，得出四边形ABMD是矩形，推出AD=BM=9，AB=DM=7，CM=12﹣9=3，设AF=CE=a，则BF=7﹣a，EM=a﹣3，BE=12﹣a，求出∠BFE=∠DEM，∠B=∠DME，证△FBE∽△EMD，得出比例式 = ，求出a即可．
【考点精析】本题主要考查了梯形的定义和相似三角形的判定与性质的相关知识点，需要掌握一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形．两腰相等的梯形是等腰梯形；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题．