Question

【题目】如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A，与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB．
（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；
（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由．
（3）若AB=8，BC=10，求大圆与小圆围成的圆环的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：BC所在直线与小圆相切．

理由如下：

过圆心O作OE⊥BC，垂足为E；

∵AC是小圆的切线，AB经过圆心O，

∴OA⊥AC；

又∵CO平分∠ACB，OE⊥BC，

∴OE=OA，

∴BC所在直线是小圆的切线

（2）解：AC+AD=BC．

理由如下：

连接OD．

∵AC切小圆O于点A，BC切小圆O于点E，

∴CE=CA；

∵在Rt△OAD与Rt△OEB中，

，

∴Rt△OAD≌Rt△OEB（HL），

∴EB=AD；

∵BC=CE+EB，

∴BC=AC+AD

（3）解：∵∠BAC=90°，AB=8cm，BC=10cm，

∴AC=6cm；

∵BC=AC+AD，

∴AD=BC﹣AC=4cm，

∵圆环的面积为：S=π（OD）2﹣π（OA）2=π（OD2﹣OA2），

又∵OD2﹣OA2=AD2，

∴S=42π=16π（cm2）

【解析】（1）只要证明OE垂直BC即可得出BC是小圆的切线，即与小圆的关系是相切．（2）利用全等三角形的判定得出Rt△OAD≌Rt△OEB，从而得出EB=AD，从而得到三者的关系是前两者的和等于第三者．（3）根据大圆的面积减去小圆的面积即可得到圆环的面积．
【考点精析】利用直线与圆的三种位置关系和扇形面积计算公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知直线与圆有三种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点；在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形；扇形面积S=π（R2-r2）．