Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以BC为直径作⊙O，交AC于D，E为 的中点，连接CE，BE，BE交AC于F．
（1）求证：AB=AF；
（2）若AB=3，BC=4，求CE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵E为 的中点，

∴ ，

∴∠DCE=∠CBE，

∵BC为⊙O的直径，

∴∠CEF=90°，

∴∠AFB=∠EFC=90°﹣∠DCE，

又∵∠ABF=∠ABC﹣∠CBE=90°﹣∠CBE，

∴∠ABF=∠AFB，

∴AB=AF；

（2）解：连接BD，如图所示：

∵BC为⊙O的直径，

∴∠BDC=90°，即BD⊥AC，

∵∠ABC=90°，

∴AC= = =5，

∵∠ADB=90°=∠ABC，∠A=∠A，

∴△ABD∽△ACB，

∴ = ，即 ，

解得：AD= ，BD= ，

∵AF=AB=3，

∴CF=AC﹣AF=2，DF=AF﹣AD=3﹣ = ，

∴BF= = ，

∵∠BDF=∠CEF，∠DFB=∠EFC，

∴△BDF∽△CEF，

∴ ，即 ，

解得：CE= ．

【解析】（1）由已知条件得出 ，由圆周角定理得出∠DCE=∠CBE，∠CEF=90°，得出∠AFB=∠EFC=90°﹣∠DCE，证出∠ABF=∠AFB，即可得出结论；（2）连接BD，由勾股定理求出AC=5，证明△ABD∽△ACB，得出对应边成比例求出AD= ，BD= ，由AF=AB=3，得出CF=AC﹣AF=2，DF=AF﹣AD= ，由勾股定理求出BF，再证明△BDF∽△CEF，得出对应边成比例，即可得出结果．
【考点精析】通过灵活运用圆周角定理和相似三角形的判定与性质，掌握顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方即可以解答此题．