Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，点E，G分别在边AB，对角线BD上，EG∥AD，F为GD的中点，连结FC，请利用勾股定理的逆定理，证明EF⊥FC.

Answer 1

【答案】证明见解析

【解析】试题分析：作FH⊥AB于点H，延长HF交CD于点I，作FK⊥AD于点K，连接EC，则四边形FIDK是正方形，四边形AKFH是矩形，由EG∥AD，F为GD的中点，可得点H是AE的中点，进而可得：HE=AH=FK=DK=DI=FI，HF=BH=IC=AK，然后由勾股定理分别表示EF2，FC2，EC2，最后根据勾股定理的逆定理即可判断△EFC是直角三角形，进而可证EF⊥FC．

试题解析：如图，过点F作FH⊥AB于点H，FK⊥AD于点K，延长HF交CD于点I.由题意易得四边形FIDK是正方形，四边形AKFH是长方形，

∴AK=HF，KD=DI=FI=KF=AH.

∵AD=CD，∴IC=AK=HF.

∵AD∥FH∥EG，F是DG的中点，

∴易证得HA=HE，∴HE=FI.

在Rt△HEF和Rt△FIC中，由勾股定理，得

EF2=HE2＋HF2，FC2=FI2＋IC2，

∴EF2＋FC2=HE2＋HF2＋FI2＋IC2=2HE2＋2HF2.

在Rt△BCE中，由勾股定理，得

EC2=BE2＋BC2.

∵BE2=(AB－AE)2=(AD－2HE)2

=(HF＋FI－2HE)2=(HF＋HE－2HE)2

=(HF－HE)2=HF2－2HF·HE＋HE2，

BC2=(HF＋FI)2=(HF＋HE)2

=HF2＋2HF·HE＋HE2，

∴EC2=BE2＋BC2=HF2－2HF·HE＋HE2＋HF2＋2HF·HE＋HE2

=2HE2＋2HF2，

即EF2＋FC2=EC2，

∴△EFC是直角三角形，且∠EFC=90°，

∴EF⊥FC.