Question

【题目】如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C（0，﹣3）．

（1）求此二次函数的解析式．

（2）若抛物线的顶点为D，点E在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，直线AE交对称轴于点F，试判断四边形CDEF的形状，并说明理由．

（3）若点M在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A，E，M，P为顶点且以AE为一边的平行四边形？若存在，请直接写出所有满足要求的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．

（2）四边形EFCD是正方形；

（3）当P点坐标为（1+，2）或（1﹣，2）或（0，﹣2）时，存在以A，E，M，P为顶点且以AE为一边的平行四边形．

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法即可解决问题．

（2）结论四边形EFCD是正方形．如图1中，连接CE与DF交于点K．求出E、F、D、C四点坐标，只要证明DF⊥CE，DF=CE，KC=KE，KF=KD即可证明．

（3）如图2中，存在以A，E，M，P为顶点且以AE为一边的平行四边形．根据点P的纵坐标为2或﹣2，即可解决问题．

试题解析：（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y=ax2+bx+c得，

解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．

（2）结论四边形EFCD是正方形．

理由：如图1中，连接CE与DF交于点K．

∵y=（x﹣1）2﹣4，∴顶点D（1，4），∵C、E关于对称轴对称，C（0，﹣3），

∴E（2，﹣3），∵A（﹣1，0），设直线AE的解析式为y=kx+b，

∴，解得，

∴直线AE的解析式为y=﹣x﹣1．

∴F（1，﹣2），

∴CK=EK=1，FK=DK=1，

∴四边形EFCD是平行四边形，

又∵CE⊥DF，CE=DF，

∴四边形EFCD是正方形．

（3）如图2中，存在以A，E，M，P为顶点且以AE为一边的平行四边形．

由题意点P的纵坐标为2或﹣2，

当y=2时，x2﹣2x﹣3=2，解得x=1±，

可得P1（1+，2），P2（1-，2），

当y=﹣2时，x=0，可得P3（0，﹣2），

综上所述当P点坐标为（1+ ，2）或（1﹣，2）或（0，﹣2）时，存在以A，E，M，P为顶点且以AE为一边的平行四边形．