Question

【题目】（1）计算：0×1×2×3+1＝（_______）2；

1×2×3×4+1＝（______）2；

2×3×4×5+1＝（_______）2；

3×4×5×6+1＝（_______）2；

……

（2）根据以上规律填空：4×5×6×7+1＝（_____）2；

____×___×_____×_____+1＝（55）2．

（3）小明说：“任意四个连续自然数的积与1的和都是某个奇数的平方”．你认为他的说法正确吗？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）1；5；11；19；（2）29；6；7；8；9；（3）正确，证明见解析．

【解析】

直接计算写出结果即可；

观察(1)的结果，得到规律，按照规律填写即可得到答案；

设四个自然数分别为n，n+1，n+2，n+3，按照题目意思作乘积，展开计算即可验证小明的说法；

解：（1）直接计算得到：0×1×2×3+1＝1=12；

1×2×3×4+1＝25=52；

2×3×4×5+1＝121=112；

3×4×5×6+1＝361=192；

故答案为：1；5；11；19；

（2）根据上述计算的几个式子，可以得到规律：

n（n+1）（n+2）（n+3）+1=,

∴4×5×6×7+1=，

∵，

∴ 6 × 7 × 8 × 9 +1＝（55）2

故答案为：29，, 6 × 7 × 8 × 9

（3）正确， 理由如下：

证明：设四个自然数分别为n，n+1，n+2，n+3，

则有n（n+1）（n+2）（n+3）+1

＝[n（n+3）][（n+1）（n+2）]+1

＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1

＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1

＝（n2+3n+1）2．

＝[n（n+1）+2n+1]2

因为n为自然数，所以n（n+1）为偶数，2n+1为奇数，所以n（n+1）+2n+1必为奇数，故（n2+3n+1）2是一个奇数的平方．