Question

【题目】（1）思考探究：如图，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P点，已知∠ABC＝70°，∠ACD＝100°．求∠A和∠P的度数．

（2）类比探究：如图，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P点，已知∠P＝n°．求∠A的度数（用含n的式子表示）．

（3）拓展迁移：已知，在四边形ABCD中，四边形ABCD的内角∠ABC与外角∠DCE的平分线所在直线相交于点P，∠P=n°，请画出图形；并探究出∠A+∠D的度数（用含n的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）∠A＝30°，∠P=15°；（2）∠A＝2n°；（3）画图见解析；∠A+∠D＝180°+2n°或180°﹣2n°．

【解析】

(1) 根据三角形内角和定理可以算出∠A的大小，再根据角平分线的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠PCD=∠P+∠PBC，即可得解；

(2)和（1）证明方法类似，先证明∠A+∠ABC＝2（∠P+∠PBC），再证明∠A＝2∠P即可得到答案；
(3) 延长BA交CD的延长线于F根据三角形内角和定理和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可得到第一种情况；延长AB交DC的延长线于F，同理即可得到答案．

解：（1）∠A＝30°，∠P＝15°

∵∠ACD+∠ACB＝180°，∠ACD＝100°

∴∠ACB＝80°，

∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°（三角形内角和定理），

又∵∠ABC＝70°，

∴∠A＝30°，

∵P点是∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，

∴∠PCD＝∠ACD＝50°，∠PBC＝∠ABC＝35°

∵∠PBC+∠PCB+∠P＝180°，∠PCB+∠PCD＝180°

∴∠PCD＝∠PBC+∠P

∴∠P＝50°－35°＝15°

（2）结论：∠A＝2n°，理由如下：

∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∠ACD＝∠A+∠ABC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和），

又∵P点是∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，

∴∠ACD＝2∠PCD，∠ABC＝2∠PBC，

∴∠A+∠ABC＝2（∠P+∠PBC）（等量替换），

∴∠A+∠ABC＝2∠P+2∠PBC，

∴∠A+∠ABC＝2∠P+∠ABC（等量替换），

∴∠A＝2∠P；

∴∠A＝2n°

（3）（Ⅰ）如图②延长BA交CD的延长线于F．

∵∠F＝180°﹣∠FAD﹣∠FDA

＝180°﹣（180°﹣∠A）﹣（180°﹣∠D）

＝∠A+∠D﹣180°，

由（2）可知：∠F＝2∠P＝2n°，

∴∠A+∠D＝180°+2n°。

（Ⅱ）如图③，延长AB交DC的延长线于F．

∵∠F＝180°﹣∠A﹣∠D，∠P＝∠F，

∴∠P＝（180°﹣∠A﹣∠D）＝90°﹣（∠A+∠D）．

∴∠A+∠D＝180°﹣2n°

综上所述：∠A+∠D＝180°+2n°或180°﹣2n° ；