Question

【题目】如图，顶点为A的抛物线y=a（x+2）2﹣4交x轴于点B（1，0），连接AB，过原点O作射线OM∥AB，过点A作AD∥x轴交OM于点D，点C为抛物线与x轴的另一个交点，连接CD．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线OM运动，设点P运动的时间为t秒，问：当t为何值时，OB=AP；
（3）若动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OD向点D运动，同时动点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CO向点O运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t秒，连接PQ．问：当t为何值时，四边形CDPQ的面积最小？并求此时PQ的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：把（1，0）代入y=a（x+2）2﹣4，

得a= ．

∴y= （x+2）2﹣4，

即y= x2+ x﹣

（2）解：由题意得OP=t，AB= =5，

若OB∥AP，即四边形ABOP为平行四边形时，OB=AP，且OP=AB=5，即当t=5时，OB=AP，

若OB不平行于AP，即四边形ABOP为等腰梯形时，OB=AP，连接AP，过点P作PG⊥AB，过点O作OH⊥AB，垂足分别为G、H，

∴△APG≌△BOH，

在Rt△OBM中，

∵OM= ，OB=1，

∴BM= ，

∴OH= ，

∴BH= ，

∴OP=GH=AB﹣2BH= ，

即当t= 时，OB=AP

（3）解：将y=0代入y= x2+ x﹣ ，得 x2+ x﹣ =0，

解得x=1或﹣5．

∴C（﹣5，0）．

∴OC=5，

∵OM∥AB，AD∥x轴，

∴四边形ABOD是平行四边形，

∴AD=OB=1，

∴点D的坐标是（﹣3，﹣4），

∴S△DOC= ×5×4=10，

过点P作PN⊥BC，垂足为N．易证△OPN∽△BOH，

∴ = ，

即 = ，

∴PN= t，

∴四边形CDPQ的面积S=S△DOC﹣S△OPQ=10﹣ ×（5﹣2t）× t= t2﹣2t+10，

∴当t= 时，四边形CDPQ的面积S最小，

此时，点P的坐标是（﹣ ，﹣1），点Q的坐标是（﹣ ，0），

∴PQ= = ．

【解析】（1）把点B（1，0）代入抛物线的解析式，求出抛物线的解析式；（2）根据勾股定理求出AB的值，若OB∥AP，即四边形ABOP为平行四边形时，OB=AP，且OP=AB，当t=5时，OB=AP；若OB不平行于AP，即四边形ABOP为等腰梯形时，OB=AP，得到△APG≌△BOH，在Rt△OBM中，求出

BM，OH，BH的值，OP=GH=AB﹣2BH的值即可；（3）根据题意求出C的坐标，得到OC的值，由OM∥AB，AD∥x轴，得到四边形ABOD是平行四边形，AD=OB，求出点D的坐标，求出S△DOC的面积 ，证出△OPN∽△BOH，得到比例，求出PN的值，得到四边形CDPQ的面积S=S△DOC﹣S△OPQ，求出PQ的值；此题是综合题，难度较大，计算和解方程时需认真仔细.