Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AB＝AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF、EF相交于点F．

（1）求证：∠C＝∠BAD；

（2）求证：AC＝EF．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【解析】

（1）由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，由余角的性质可得∠C=∠BAD；

（2）由“ASA”可证△ABC≌△EAF，可得AC=EF．

证明：（1）∵AB＝AE，D为线段BE的中点，

∴AD⊥BC

∴∠C+∠DAC＝90°，

∵∠BAC＝90°

∴∠BAD+∠DAC＝90°

∴∠C＝∠BAD

（2）∵AF∥BC

∴∠FAE＝∠AEB

∵AB＝AE

∴∠B＝∠AEB

∴∠B＝∠FAE，且∠AEF＝∠BAC＝90°，AB＝AE

∴△ABC≌△EAF（ASA）

∴AC＝EF