Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.

（1）求证：∠A=∠ADE；
（2）若AD=16，DE=10，求BC的长.

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连结OD，∵DE是⊙O的切线，

∴∠ODE=90°，

∴∠ADE+∠BDO=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠A+∠B=90°，

又∵OD=OB，

∴∠B=∠BDO，

∴∠ADE=∠A.

（2）

解：连结CD，∵∠ADE=∠A，

∴AE=DE，

∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°.

∴EC是⊙O的切线，∴DE=EC，

∴AE=EC.

又∵DE=10，

∴AC=2DE=20，

在Rt△ADC中，DC= .

设BD=x，

在Rt△BDC中，BC2=x2+122, 在Rt△ABC中，BC2=(x+16)2-202,

∴x2+122=(x+16)2-202,解得x=9，

∴BC= .

【解析】（1）连结OD，根据切线的性质和同圆的半径相等，及圆周角所对的圆周角为90°，得到相对应的角的关系，即可证明；（2）由（1）中的∠ADE=∠A可得AE=DE；由∠ACB=90°，可得EC是⊙O的切线，由切线长定理易得DE=EC，则AC=2DE，由勾股定理求出CD；设BD=x，再可由勾股定理BC2= x2+122=(x+16)2-202,可解出x的值，再重新代入原方程，即可求出BC.
【考点精析】认真审题，首先需要了解切线的性质定理(切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径)．