Question

【题目】已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．
（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）=|2x﹣a|+a，

故不等式f（x）≤6，

即 ，

求得 a﹣3≤x≤3．

再根据不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}，

可得a﹣3=﹣2，

∴实数a=1

（2）解：在（1）的条件下，f（x）=|2x﹣1|+1，

∴f（n）=|2n﹣1|+1，存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，

即f（n）+f（﹣n）≤m，即|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m．

由于|2n﹣1|+|2n+1|≥|（2n﹣1）﹣（2n+1）|=2，

∴|2n﹣1|+|2n+1|的最小值为2，

∴m≥4，

故实数m的取值范围是[4，+∞）

【解析】（1）通过讨论x的范围，求得a﹣3≤x≤3．再根据不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3=﹣2，从而求得实数a的值．（2）在（1）的条件下，f（n）=|2n﹣1|+1，即f（n）+f（﹣n）≤m，即|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m．求得|2n﹣1|+|2n+1|的最小值为2，可得m的范围．