Question

【题目】已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+ ）= ，圆C的参数方程为： （其中θ为参数）．
（1）判断直线l与圆C的位置关系；
（2）若椭圆的参数方程为 （φ为参数），过圆C的圆心且与直线l垂直的直线l′与椭圆相交于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

【答案】
（1）解：将直线l的极坐标方程 ，化为直角坐标方程：x+y﹣1=0．

将圆C的参数方程化为普通方程：x2+（y+2）2=4，圆心为C（0，﹣2），半径r=2．

∴圆心C到直线l的距离为d= ＞r=2，

∴直线l与圆C相离．

（2）解：将椭圆的参数方程化为普通方程为 ，

∵直线l：x+y﹣1=0的斜率为k1=﹣1，

∴直线l'的斜率为k2=1，即倾斜角为 ，

则直线l'的参数方程为 ，（t为参数），

即 （t为参数），

把直线l'的参数方程 代入 ，

整理得7t2﹣16 t+8=0．（*）

由于△=（﹣16 ）2﹣4×7×8＞0，

故可设t1，t2是方程（*）的两个不等实根，则有t1t2= ， ，

|AB|=

【解析】（1）将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，将圆C的参数方程化为普通方程，求出圆心C到直线l的距离，由此得到直线l与圆C相离．（2）将椭圆的参数方程化为普通方程为 ，求出直线l'的参数方程，把直线l'的参数方程代入椭圆的普通方程，得7t2﹣16 t+8=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式能求出|AB|．