Question

【题目】如图1，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上（不与A、O重合）的一个动点，过点P作PE⊥PB且交边CD于点E．
（1）求证：PB=PE；
（2）过点E作EF⊥AC于点F，如图2，若正方形ABCD的边长为2，则在点P运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，请直接写出这个不变的值；若变化，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：

如图1，过P作MN∥AD，交AB于M，交CD于N，

∵PB⊥PE，

∴∠BPE=90°，

∴∠MPB+∠EPN=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD=∠D=90°，

∵AD∥MN，

∴∠BMP=∠BAD=∠PNE=∠D=90°，

∴∠MPB+∠MBP=90°，

∴∠EPN=∠MBP，

Rt△PNC中，∠PCN=45°，

∴△PNC是等腰直角三角形，

∴PN=CN，

∵∠BMP=∠PNC=∠ABC=90°，

∴四边形MBCN是矩形，

∴BM=CN，

∴BM=PN，

∴△BMP≌△PNE（ASA），

∴PB=PE；

（2）解：在P点运动的过程中，PF的长度不发生变化，理由是：

如图2，连接OB，

∵点O是正方形ABCD对角线AC的中点，

∴OB⊥AC，

∴∠AOB=90°，

∴∠AOB=∠EFP=90°，

∴∠OBP+∠BPO=90°，

∵∠BPE=90°，

∴∠BPO+∠OPE=90°，

∴∠OBP=∠OPE，

由（1）得：PB=PE，

∴△OBP≌△FPE，

∴PF=OB，

∵AB=2，△ABO是等腰直角三角形，

∴OB= = ，

∴PF为定值是 ．

【解析】（1）作辅助线，构建全等三角形，根据ASA证明△BMP≌△PNE可得结论；（2）如图2，连接OB，通过证明△OBP≌△FPE，得PF=OB，则PF为定值是 ．