Question

【题目】在ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形DEBF是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，AE=3，BF=4，求ABCD的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DF∥BE，

又∵DF=BE，

∴四边形DEBF是平行四边形，

又∵DE⊥AB，

∴∠DEB=90°，

∴平行四形DEBF是矩形

（2）解：∵四边形DEBF是矩形，

∴DF∥AB，DE=BF=4，DF=BE，

∴∠DAF=∠FAB，

又∵AF平分∠DAB，

∴∠DAF=∠FAB，

∴∠DFA=∠DAF，

∴DA=DF，

又∵DE⊥AB，

∴∠DEA=90°，

在Rt△ADE中

AD= = =5，

∴BE=5，

∴AB=AE+BE=3+5=8，

∴ABCD的面积=ABBF=8×4=32

【解析】（1）根据平行四边形性质得出DF∥BE，得出平行四边形BFDE，根据矩形的判定得出即可；（2）根据矩形的性质求出BF=DE=4，根据勾股定理求出AD，求出AD=DF，得出AB，即可得出答案．