Question

【题目】把一张矩形纸片ABC的按如图方式折叠，使顶点B落在边AD上（记为点B′），点A落在点A′处，折痕分别与边AD、BC交于点E、F．
（1）试在图中连接BE，求证：四边形BFB′E是菱形；
（2）若AB=8，BC=16，求线段BF长能取到的整数．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接BB′，如图1所示：

由折叠知点B、B′关于EF对称，

∴EF是线段BB′的垂直平分线，

∴BE=B′E，BF=B′F，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠B′EF=∠BFE，

由折叠得：∠B′FE=∠BFE，

∴∠B′EF=∠B′FE，

∴B′E=B′F，

∴BE=B′E=B′F=BF，

∴四边形BFB′E是菱形

（2）解：如图2所示：当点E与点A重合时，四边形ABFB′是正方形，此时BF最小，

∵四边形ABFB′是正方形，

∴BF=AB=8，即BF最小为8；

如图2所示：当点B与点D重合时，BF最大，

设BF=x，则CF=16﹣x，DF=BF=x，

在Rt△CDF中，由勾股定理得：CF2+CD2=DF2，

∴（16﹣x）2+82=x2，

解得：x=10，即BF=10，

∴8≤BF≤10，

∴线段BF长能取到的整数值为8，9，10．

【解析】（1）连接BB′，由折叠知点B、B′关于EF对称，得出EF是线段BB′的垂直平分线，证出BE=B′E，BF=B′F，由矩形的性质得出∠B′EF=∠BFE，由折叠得：∠B′FE=∠BFE，得出∠B′EF=∠B′FE，证出B′E=B′F，BE=B′E=B′F=BF，即可得出结论；（2）当点E与点A重合时，四边形ABFB′是正方形，此时BF最小，由正方形的性质得出BF=AB=8，得出BF最小为8； 当点B与点D重合时，BF最大，设BF=x，则CF=16﹣x，DF=BF=x，在Rt△CDF中，由勾股定理得出方程，解方程求出BF=10，得出8≤BF≤10，即可得出结果．