Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（ ）
A.4.75
B.4.8
C.5
D.4

Answer 1

【答案】B
【解析】解：线段PQ长度的最小值时，PQ为圆的直径， 如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、CF、CD，

∵圆F与AB相切，
∴FD⊥AB，
∵AB=5，AC=4，BC=3，
∴∠ACB=90°，FC+FD=PQ，
∴CF+FD＞CD，且PQ为圆F的直径，
∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ=CD有最小值，即CD为圆F的直径，
且S△ABC= BCCA= CDAB，
∴CD=4.8．
故选B．
【考点精析】关于本题考查的勾股定理的逆定理和切线的性质定理，需要了解如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形；切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能得出正确答案．