Question

【题目】如图，在直角坐标系中，已知直线y=﹣ x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，C点的坐标为（﹣2，0）．

（1）求证：直线AB⊥AC；
（2）求经过A，B，C三点的抛物线l的解析式和对称轴；
（3）在直线AB上方的抛物线l上，是否存在一点P，使直线AB平分∠PBC？
若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：当y=0时，x=8，即B（8，0），当x=0时，y=4，即A（0，4）．

∵△AOB、△AOC是直角三角形，

∴AC2=OC2+AO2=20，AB2=OB2+AO2=80，

∵AC2+AB2=20+80=100，BC2=[8﹣（﹣2）]2，

∴AC2+AB2=BC2，

∴AC⊥AB

（2）

解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

将A、B、C点坐标代入，得

，

解得a ，

抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+4，

y=﹣ x2+ x+4=﹣ （x﹣3）2+ ，

抛物线的对称轴是x=3

（3）

解：在直线AB上方的抛物线l上，存在一点P，使直线AB平分∠PBC，理由如下：

如图ADBE是菱形，设D（x，0），BD=8﹣x，

由勾股定理，得

x2+42=（8﹣x）2，

解得x=3，

AD的解析式为y=﹣ x+4，

BE的解析式为y=﹣ x+b，将B点坐标代入，解得b= ，

BE的解析式为y=﹣ x+ ，

联立BE与抛物线，得

，

消元化简，得

3x2﹣34x+80=0，

△=342﹣4×3×80=169，

∴x1=8（舍弃），x2= ，

x= 时，y=

∴当点P坐标为（ ， ）时，使直线AB平分∠PBC

【解析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B点坐标，根据勾股定理，可得AB、AC的长，根据勾股定理的逆定理，可得答案；（2）根据待定系数法，可得函数解析式；根据配方法，可得对称轴；（3）根据菱形的对角线平分一组对角，可得ADBE是菱形，根据平行间的一次项的系数相等，可得BE的解析式，根据解方程组，可得答案．
【考点精析】通过灵活运用勾股定理的概念，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此题．