Question

【题目】将含45°角的三角板的直角顶点R放在直线l上，分别过两锐角的顶点M，N作l的垂线，垂足分别为P、Q，
（1）如图1，观察图1可知：与NQ相等的线段是 ， 与∠NPQ相等的角是 ．

（2）直角△ABC中，∠B=90°，在AB边上任取一点D，连接CD，分别以AC，DC为边作正方形ACEF和正方形CDGH，如图2，过E，H分别作BC所在直线的垂线，垂足分别为K，L．试探究EK与HL之间的数量关系，并证明你的结论．

（3）直角△ABC中，∠B=90°，在AB边上任取一点D，连接CD，分别以AC，DC为边作矩形ACEF和矩形CDGH，连接EH交BC所在的直线于点T，如图3，如果AC=kCE，CD=kCH，试探究TE与TH之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）PR；∠PMR
（2）

解：∵四边形ACEF是正方形，

∴AC=CE，∠ACE=90°，

∵EK⊥BK，

∴∠B=∠EKC=90°，

∴∠BAC+∠ACB=∠ACB+∠ECK=90°，

∴∠BAC=∠ECK，

在△ABC与△CEK中， ，

∴△ABC≌△CEK，

∴EK=BC，

∵四边形CDGH是正方形，∴CD=CH，∠DCH=90°，

∵HI⊥BC，

∴∠B=∠CIH=90°，

∴∠DCB+∠ICK=∠ICK+∠CHI=90°，∴∠DCB=∠CHI，

在△DCB与△CHI中， ，∴△DCB≌△CHI，

∴BC=HI，

∴EK=IH

（3）

解：如图3，过E作EM⊥BC于M，过H作HN⊥BC于N，

∵四边形ACEF是矩形，

∴∠ACE=90°，

∴∠BAC+∠ACB=∠ACB+∠ECM=90°，

∴∠BAC=∠ECM，∴△ACB∽△ECM，

∴ =k，

∴BC=kEM，

同理△BCD∽△NHC，

∴ =K，

∴BC=kHN，

∴EM=HN，

在△NHT与△EMT中， ，

∴△NHT≌△EMT，

∴ET=HT．

【解析】解：（1）∵△MRN是等腰直角三角形，
∴MR=RN，∠MRN=90°，
∵MP⊥PQ，NQ⊥PQ，
∴∠MPR=∠NQ=90°，
∴∠PMR+∠MRP=∠MRP+∠NRQ=90°，
∴∠PMR=∠NRQ，
在△MPR与△NRQ中， ，
∴△MPR≌△NRQ，
∴QN=PR，∠NRQ=∠PMR，
所以答案是：PR，∠PMR；
【考点精析】掌握等腰直角三角形和全等三角形的性质是解答本题的根本，需要知道等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等．