Question

【题目】如图，直线y=x+3分别交x，y轴于点D，C，点B在x轴上，OB=OC，过点B作直线m∥CD．点P、Q分别为直线m和直线CD上的动点，且点P在x轴的上方，满足∠POQ=45°

（1）则∠PBO=度；
（2）问：PBCQ的值是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；
（3）求证：CQ2+PB2=PQ2 ．

Answer 1

【答案】
（1）135
（2）

解：PBCQ是定值，理由如下：

∠OCQ=∠ODC+∠COD=45°+90°=135°=∠PBO，

∵∠COQ+∠CQO=180°﹣∠OCQ=45°，∠BOP+∠BPO=180°﹣∠PBO=45°，

∴∠COQ+∠CQO=∠BOP+∠BPO=45°，

又∵∠COQ+∠BOP=∠BOC﹣∠POQ=90°﹣45°=45°，

∴∠COQ=∠BPO，∠CQO=∠BOP，

∴△COQ∽△BPO，

∴ ，即PBCQ=OBOC=9

（3）

解：证明：过点Q作QE⊥m于点E，如图1所示．

∵OB=OC=3，∠BOC=90°，

∴∠OBC=45°，BC=3 ．

∴∠PBC=∠PBO﹣∠OBC=135°﹣45°=90°，

又∵QE⊥m，

∴CB∥QE，∠PEQ=90°．

∵直线m∥直线CD，

∴四边形BEQC为矩形，

∴QE=CB=3 ．

在Rt△QEP中，∠PEQ=90°，PE=PB﹣CQ，QE=3 ，

∴PQ2=QE2+PE2=18+（PB﹣CQ）2，

又∵PBCQ=9，

∴PQ2=2PBCQ+（PB﹣CQ）2=PB2+CQ2

【解析】解：（1）令x=0，则y=3，
即点C的坐标为（0，3）；
令y=0，则有x+3=0，
解得：x=﹣3，即点D的坐标为（﹣3，0）．
又∵OB=OC，
∴OC=OD=OB=3．
∵tan∠ODC= =1，
∴∠ODC=45°，
∵直线m∥直线CD，
∴∠ODC+∠PBO=180°，
∴∠PBO=135°．
所以答案是：135
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的应用的相关知识，掌握测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解．