Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，过点C作CD⊥CB交∠CBA的外角平分线于点D，连接AD，过点C作∠BCE=∠BAD，交AB的延长线于点E．若CD=3，则CE=_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

证明△ABD≌△CBE，根据全等三角形的性质可得CE=AD，过D作DF⊥AE于F，再证明△CBD≌△FBD，即可得CB=BF，DF=CD=3，在Rt△BCD中，利用勾股定理求得BC=，BD=2，再在Rt△ADF中，利用勾股定理求得AD的长，即可求得CE的长.

∵△ABC为等边三角形，

∴AB=BC，

∴∠5=60°．

又∵∠5+∠CBE=180°，

∴∠CBE=120°．

又∵BD平分∠CBE，

∴∠3=∠4=∠CBE．

∴∠5+∠3=∠4+∠3=120°．

即∴∠ABD=∠CBE．

在△ABD和△CBE中，，

∴△ABD≌△CBE（ASA）．

∴CE=AD，

过D作DF⊥AE于F，

∴∠DFB=∠DCB=90°，

又∵∠CBD=∠FBD，BD=BD，

∴△CBD≌△FBD（AAS）．

∴CB=BF，DF=CD=3，

∵∠3=60°，∠BCD=90°，

∴∠CDB=30°，

∴设BC=x，则BD=2x，

则32+x2=（2x）2，

解得：x=，

∴BC=，BD=2，

∴BF=BC=．

∵AB=BC，

∴AF=AB+BF=2．

直角三角形ADF中，AF=2，DF=3．

∴根据勾股定理可得出AD=，

∴CE=AD=．

故答案为：．