Question

【题目】已知：直线y=﹣x﹣4分别交x、y轴于A、C两点，抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过A、O两点，且顶点B的纵坐标为﹣2
（1）判断点B是否在直线AC上，并求该抛物线的函数关系式；
（2）以点B关于x轴的对称点D为圆心，以OD为半径作⊙D，试判断直线AC与⊙D的位置关系，并说明理由；
（3）若E为⊙D的优弧AO上一动点（不与A、O重合），连结AE、OE，问在抛物线上是否存在点P，使∠POA：∠AEO=2：3？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵点A、C分别是直线y=﹣x﹣4与x、y轴的交点，

∴点A（﹣4，0），点C（0，﹣4），

由题意可得： ，

解得 ，

∴抛物线的函数关系式为y= x2+2x．

由y= x2+2x= （x+2）2﹣2得顶点B（﹣2，﹣2）．

当x=﹣2时，y=﹣x﹣4=﹣2，

∴点B在直线y=﹣x﹣4上

（2）解：直线AC与⊙D相切．

理由：连接DA，如图1．

∵A（﹣4，0），C（0，﹣4），

∴OA=OC=4．

∵∠AOC=90°，

∴∠OAC=∠OCA=45°．

∵点B在直线AC上，

∴∠BAO=45°．

∵点B与点D关于x轴对称，

∴∠DAO=∠BAO=45°，

∴∠DAB=90°，

∵抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过A、O两点，顶点是B，点B与点D关于x轴对称，OD为半径，

∴直线AC与⊙D相切

（3）解：过点P作PH⊥x轴于H，如图2①、图2②，

∵DA=DO，

∴∠DOA=∠DAO=45°，

∴∠ADO=90°．

∵E为⊙D的优弧AO上一动点（不与A、O重合），

∴∠AEO= ∠ADO=45°．

∵∠POA：∠AEO=2：3，

∴∠POA= ∠AEO= ×45°=30°．

∴直线OP的解析式为y= x，或y=﹣ x．

①当直线OP的解析式为y=﹣ x时，如图2①，

解方程组 ，得

或 ，

∴点P的坐标为（﹣ ﹣4， + ）．

②当直线OP的解析式为y= x时，如图2②，

解方程组 ，得

或 ，

∴点P的坐标为（ ， ）．

综上所述：点P的坐标为（﹣ ﹣4 ）或（ -4， ）．

【解析】（1）可先求出点A、C的坐标，然后结合点A的坐标及顶点B的纵坐标为﹣2可得到关于a、b的方程组，然后解这个方程组，就可得到抛物线的函数关系式，从而得到点B的坐标，然后把点B的坐标代入直线AC的解析式，就可解决问题；（2）连接DA，如图1，要证直线AC与⊙D相切，只需证∠DAC=90°；（3）过点P作PH⊥x轴于H，如图2①、图2②，易得∠ADO=90°，根据圆周角定理可得∠AEO，从而求出∠POA，从而可得到直线OP的解析式，然后解直线OP与抛物线的解析式组成的方程组，就可得到点P的坐标．