Question

【题目】若t为实数，关于x的方程x2﹣4x+t﹣2=0的两个非负实数根为a、b，则代数式（a2﹣1）（b2﹣1）的最小值是（ ）
A.﹣15
B.﹣16
C.15
D.16

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣4x+t﹣2=0的两个非负实根， ∴可得a+b=4，ab=t﹣2≥0，△=16﹣4（t﹣2）≥0．
解 得：2≤t≤6
（a2﹣1）（b2﹣1）=（ab）2﹣（a2+b2）+1=（ab）2﹣（a+b）2+2ab+1，
∴（a2﹣1）（b2﹣1），
=（t﹣2）2﹣16+2（t﹣2）+1，
=（t﹣1）2﹣16，
∵2≤t≤6，
∴当t=2时，（t﹣1）2取最小值，最小值为1，
∴代数式（a2﹣1）（b2﹣1）的最小值是1﹣16=﹣15，
故选：A．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的性质(增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小)．