Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；
（3）点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）代入抛物线y=ax2+bx+c中，得：

，

解得：

故抛物线的解析式：y=x2﹣2x﹣3

（2）

解：当P点在x轴上，P，A，B三点在一条直线上时，点P到点A、点B的距离之和最短，

此时x=﹣ =1，

故P（1，0）

（3）

解：如图所示：

抛物线的对称轴为：x=﹣ =1，设M（1，m），已知A（﹣1，0）、C（0，﹣3），则：

MA2=m2+4，MC2=（3+m）2+1=m2+6m+10，AC2=10；

①若MA=MC，则MA2=MC2，得：

m2+4=m2+6m+10，解得：m=﹣1，

②若MA=AC，则MA2=AC2，得：

m2+4=10，得：m=± ；

③若MC=AC，则MC2=AC2，得：

m2+6m+10=10，得：m1=0，m2=﹣6；

当m=﹣6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；

综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M（1， ）（1，﹣ ）（1，﹣1）（1，0）．

【解析】（1）直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可；（2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l与x轴的交点，即为符合条件的P点；（3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC、②MA=MC、③AC=MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解．