Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是AB，BC，CA上的点．

(1)若AD＝BE＝CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论；

(2)若△DEF是等边三角形，问AD＝BE＝CF成立吗？试证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）△DEF是等边三角形，证明见解析；（2）AD＝BE＝CF成立，证明见解析.

【解析】试题分析：(1)由SAS易证△ADF≌△BED≌△CFE，所以DF=DE=EF，即△DEF是等边三角形；

(2)先证明∠1+∠2=120°，∠2+∠3=120°．可得∠1=∠3．同理∠3=∠4．则△ADF≌△BED≌△CFE，故能证明AD=BE=CF.

解：(1)△DEF是等边三角形．证明如下：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝∠B＝∠C，AB＝BC＝CA.

又∵AD＝BE＝CF，

∴DB＝EC＝FA.

∴△ADF≌△BED≌△CFE，

∴DF＝ED＝FE.∴△DEF是等边三角形．

(2)AD＝BE＝CF成立．证明如下：如图，∵△DEF是等边三角形，∴DE＝EF＝FD，∠FDE＝∠DEF＝∠EFD＝60°.∴∠1＋∠2＝120°.∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴∠2＋∠3＝120°，∴∠1＝∠3.同理∠3＝∠4，易证△ADF≌△BED≌△CFE(AAS)，∴AD＝BE＝CF.