Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+1与抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）相交于点A（1，0）和点D（﹣4，5），并与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线与x轴交于另一点B．

（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点E是直线下方抛物线上的一个动点，求出△ACE面积的最大值；
（3）如图2，若点M是直线x=﹣1的一点，点N在抛物线上，以点A，D，M，N为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，请直接写出点M的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（1，0），抛物线的对称轴为x=﹣1，

∴B（﹣3，0）．

设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1），

将点D的坐标代入得：5a=5，解得a=1，

∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3

（2）

解：如图1所示：过点E作EF∥y轴，交AD与点F，过点C作CH⊥EF，垂足为H．

设点E（m，m2+2m﹣3），则F（m，﹣m+1）．

∴EF=﹣m+1﹣m2﹣2m+3=﹣m2﹣3m+4

∴△ACE的面积=△EFA的面积﹣△EFC的面积= EFAG﹣ EFHC= EFOA=﹣ （m+ ）2+ ．

∴△ACE的面积的最大值为

（3）

解：当AD为平行四边形的对角线时．

设点M的坐标为（﹣1，a），点N的坐标为（x，y）．

∵平行四边的对角线互相平分，

∴ = ， = ．

解得：x=﹣2，5﹣a．

将点N的坐标代入抛物线的解析式得：5﹣a=﹣3，

∴a=8．

∴点M的坐标为（﹣1，8）．

当AD为平行四边形的边时．

设点M的坐标为（﹣1，a）．

∵四边形MNAD为平行四边形，

∴点N的坐标为（﹣6，a+5）或（4，a﹣5）．

∵将x=﹣6，y=a+5代入抛物线的解析式得：a+5=36﹣12﹣3，解得：a=16，

∴M（﹣1，16）．

将x=4，y=a﹣5代入抛物线的解析式得：a﹣5=16+8﹣3，解得：a=26，

∴M（﹣1，26）．

综上所述，当点M的坐标为（﹣1，26）或（﹣1，16）或（﹣1，8）时，以点A，D，M，N为顶点的四边形能成为平行四边形

【解析】（1）先利用抛物线的对称性确定出点B的坐标，然后设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1），将点D的坐标代入求得a的值即可；（2）过点E作EF∥y轴，交AD与点F，过点C作CH⊥EF，垂足为H．设点E（m，m2+2m﹣3），则F（m，﹣m+1），则EF=﹣m2﹣3m+4，然后依据△ACE的面积=△EFA的面积﹣△EFC的面积列出三角形的面积与m的函数关系式，然后利用二次函数的性质求得△ACE的最大值即可；（3）当AD为平行四边形的对角线时．设点M的坐标为（﹣1，a），点N的坐标为（x，y），利用平行四边形对角线互相平分的性质可求得x的值，然后将x=﹣2代入求得对应的y值，然后依据 = ，可求得a的值；当AD为平行四边形的边时．设点M的坐标为（﹣1，a）．则点N的坐标为（﹣6，a+5）或（4，a﹣5），将点N的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识点，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．