Question

【题目】已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣ ）=0
（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：△=（2k+1）2﹣4×4（k﹣ ）

=4k2+4k+1﹣16k+8，

=4k2﹣12k+9

=（2k﹣3）2，

∵（2k﹣3）2≥0，即△≥0，

∴无论k取何值，这个方程总有实数根；

（2）解：当b=c时，△=（2k﹣3）2=0，解得k= ，方程化为x2﹣4x+4=0，解得b=c=2，而2+2=4，故舍去；

当a=b=4或a=c=4时，把x=4代入方程得16﹣4（2k+1）+4（k﹣ ）=0，解得k= ，方程化为x2﹣6x+8=0，解得x1=4，x2=2，即a=b=4，c=2或a=c=4，b=2，

所以△ABC的周长=4+4+2=10．

【解析】（1）先计算判别式的值得到△=4k2﹣12k+9，配方得到△=（2k﹣3）2 ， 根据非负数的性质易得△≥0，则根据判别式的意义即可得到结论；（2）分类讨论：当b=c时，则△=（2k﹣3）2=0，解得k= ，然后解方程得到b=c=2，根据三角形三边关系可判断这种情况不符号条件；当a=b=4或a=c=4时，把x=4代入方程可解得k= ，则方程化为x2﹣6x+8=0，解得x1=4，x2=2，所以a=b=4，c=2或a=c=4，b=2，然后计算△ABC的周长．