Question

【题目】如图1所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是线段CA延长线上一点，且AD=AB．点F是线段AB上一点，连接DF，以DF为斜边作等腰Rt△DFE，连接EA，EA满足条件EA⊥AB．

（1）若∠AEF=20°，∠ADE=50°，AC=2，求AB的长度；

（2）求证：AE=AF+BC；

（3）如图2，点F是线段BA延长线上一点，探究AE、AF、BC之间的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析；（3）AE+AF=BC，证明见解析

【解析】

试题分析：（1）在等腰直角三角形DEF中，∠DEF=90°，求得∠1=20°，根据余角的定义得到∠2=∠DEF﹣∠1=70°，根据三角形的内角和得到∠3=60°，∠4=30°根据三角函数的定义得到cos∠4=，于是得到结论；

（2）如图1，过D作DM⊥AE于D，在△DEM中，由余角的定义得到∠2+∠5=90°，由于∠2+∠1=90°，推出∠1=∠5证得△DEM≌△EFA，根据全等三角形的性质得到AF=EM，根据三角形的内角和和余角的定义得到∠3=∠B，推出△DAM≌△ABC，根据全等三角形的性质得到BC=AM即可得到结论；

（3）如图2，过D作DM⊥AE交AE的延长线于M根据余角的定义和三角形的内角和得到∠2=∠B，证得△ADM≌△BAC，由全等三角形的性质得到BC=AM，由于EF=DE，∠DEF=90°，推出∠4=∠5，证得△MED≌△AFE，根据全等三角形的性质得到ME=AF，即可得到结论．

解：（1）在等腰直角三角形DEF中，∠DEF=90°，

∵∠1=20°，

∴∠2=∠DEF﹣∠1=70°，

∵∠EDA+∠2+∠3=180°，

∴∠3=60°，

∵EA⊥AB，

∴∠EAB=90°，

∵∠3+∠EAB+∠A=180°，

∴∠4=30°，

∵∠C=90°，

∴cos∠4=，

∴AB===；

（2）如图1，过D作DM⊥AE于D，在△DEM中，∠2+∠5=90°，

∵∠2+∠1=90°，

∴∠1=∠5，

∵DE=FE，

在△DEM与△EFA中，

，

∴△DEM≌△EFA，

∴AF=EM，

∵∠4+∠B=90°，

∵∠3+∠EAB+∠4=180°，

∴∠3+∠4=90°，

∴∠3=∠B，

在△DAM与△ABC中，

，

∴△DAM≌△ABC，

∴BC=AM，

∴AE=EM+AM=AF+BC；

（3）如图2，过D作DM⊥AE交AE的延长线于M，

∵∠C=90°，

∴∠1+∠B=90°，

∵∠2+∠MAB+∠1=180°，∠MAB=90°，

∴∠2+∠1=90°，∠2=∠B，

在△ADM与△BAC中，

，

∴△ADM≌△BAC，

∴BC=AM，

∵EF=DE，∠DEF=90°，

∵∠3+∠DEF+∠4=180°，

∴∠3+∠4=90°，

∵∠3+∠5=90°，

∴∠4=∠5，

在△MED与△AFE中，

，

∴△MED≌△AFE，

∴ME=AF，

∴AE+AF=AE+ME=AM=BC，

即AE+AF=BC．