Question

【题目】问题探究：
【1】新知学习
⑴梯形的中位线：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．
⑵梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
⑶形如分式 （m为常数，且m＞0），若x＞0，则 ，并且有下列结论：
当x 逐渐增大时，分母x+2m逐渐增大，分式 的值逐渐减少并趋于0，但仍大于0．当x 逐渐减少时，分母x+2m逐渐减少，分式 的值逐渐增大并趋于 ，即趋于 ，但仍小于 ．
【2】问题解决
如图2，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，E、F分别是AB、CD的中点．

（1）设AD=7，BC=17，求 的值．
（2）设AD=a（a为正的常数），BC=x，请问：当BC的长不断增大时， 的值能否大于或等于3，试证明你的结论．
（3）进一步猜想：任何一个梯形的中位线所分成的两部分图形的面积的比值所在的范围是什么，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设梯形ADFE的高为h，则梯形BCFE的高为h，

∵E、F分别是AB、CD的中点，

∴EF是梯形ABCD的中位线，

∴EF∥AD∥BC，EF= （AD+BC）= （7+17）=12，

∴ = =

（2）

解：当BC的长不断增大时， 的值不能大于或等于3；理由如下：

∵E、F分别是AB、CD的中点，

∴EF是梯形ABCD的中位线，

∴EF= （AD+BC）= （a+x），

由（1）得： = = ，

当BC的长x不断增大时， 的分子a+3x逐渐增大并趋于，即趋于3，但仍小于3；

∴当BC的长不断增大时， 的值不能大于或等于3

（3）

解：任何一个梯形的中位线所分成的两部分图形的面积的比值所在的范围是大于1而小于3；理由如下：

由（2）得： = ＜3，当x 逐渐减少时，分母3a+x逐渐减少，x趋于a，

则a+3x趋于4a，3a+x趋于4a，

∴ = 的值趋于1，但大于1，

∴1＜ ＜3，

故任何一个梯形的中位线所分成的两部分图形的面积的比值所在的范围是大于1而小于3

【解析】问题解决（1）设梯形ADFE的高为h，则梯形BCFE的高为h，证出EF是梯形ABCD的中位线，由梯形中位线定理得出EF∥AD∥BC，EF= （AD+BC）=12，由梯形面积公式即可得出答案；（2）由梯形中位线定理得出EF= （AD+BC）= （a+x），由（1）得： = = ，当BC的长x不断增大时， 的分子a+3x逐渐增大并趋于，即趋于3，但仍小于3；（3）由（2）得： = ＜3，当x 逐渐减少时，分母3a+x逐渐减少，x趋于a，则a+3x趋于4a，3a+x趋于4a，得出 = 的值趋于1，但大于1，即可得出答案．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用梯形的中位线的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握梯形的中位线平行于梯形的两底并等于两底和的一半．