Question

【题目】如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE。

(1)发现

当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，①线段DG与BE之间的数量关系是____________。②直线DG与直线BE之间的位置关系是____________。

(2)探究

如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD=2AB，AG=2AE，证明：直线DG⊥BE

(3)应用

在(2)情况下，连结GE(点E在AB上方)，若GE∥AB，且AB=，AE=1，则线段DG是多少?(直接写出结论)

Answer 1

【答案】 DG=BE DG⊥BE

【解析】试题分析：（1）证明△EAB≌△GAD，可得到BE=DG，∠ABE=∠ADG，再由三角形内角和为180°，即可得到结论；

（2）证明△ABE∽△ADG，再由三角形内角和为180°，即可得到结论；

（3）当GE∥AB时，B、E、F三点在一条直线上，且F刚好在DG上．先求出AD，AG的长，再由勾股定理即可得到结论．

试题解析：解：（1）①DG=BE；②DG⊥BE．理由如下：

延长BE交AD，DG分别为P，H．∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，AE=AG，∠EAG=90°，∴∠EAB=∠GAD．在△EAB和△GAD中，∵AB=AD，∠EAB=∠GAD，AE=AG，∴△EAB≌△GAD，∴BE=DG，∠ABE=∠ADG．∵∠APB=∠HPD（对顶角相等），∴∠BAP=∠DHP=90°，∴BG⊥DG．

（2）延长BE交AD，DG分别为P，H．

∵∠BAE+∠DAE=∠DAG+∠DAE=90°，∴∠BAE=∠DAG．

∵AD=2AB，AG=2AE，∴，∴△ABE∽△ADG，∴∠ABP=∠HDP．

∵∠APB=∠HPD，∴∠BAD=∠DHP=90°，∴ DG⊥BE．

（3） 当GE∥AB时，B、E、F三点在一条直线上，且F刚好在DG上，∴∠AEB=90°．∵∠AGD=∠AEB，∴∠AGD=90°．∵AB=，AE=1，∴AG=2AE=2，AD=2AB=，∴DG===4．