Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，DB=DC，点E、F分别为DB、BC的中点，连接AE、EF、AF．

（1）求证：AE=EF；

（2）当AF=AE时，设∠ADB=α，∠CDB=β，求α，β之间的数量关系式．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）α，β之间的数量关系式为2α+β=60°．

【解析】

（1）根据三角形的中位线的性质得到EF=CD，根据直角三角形的性质得到AE=BD，于是得到结论；

（2）根据题意得到△AEF是等边三角形，求得∠AEF=60°，根据三角形中位线的性质和三角形外角的性质即可得到结论．

（1）∵点E、F分别为DB、BC的中点，

∴EF=CD，

∵∠DAB=90°，

∴AE=BD，

∵DB=DC，

∴AE=EF；

（2）∵AF=AE，AE=EF，

∴△AEF是等边三角形，

∴∠AEF=60°，

∵∠DAB=90°，点E、F分别为DB、BC的中点，

∴AE=DE，EF∥CD，

∴∠ADE=∠DAE=α，∠BEF=∠BDC=β，

∴∠AEB=2∠ADE=2α，

∴∠AEF=∠AEB+∠FEB=2α+β=60°，

∴α，β之间的数量关系式为2α+β=60°．