Question

【题目】△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在AB上，E在BC上，且AD＝BE，BD＝AC．

（1）如图1，求证：DC＝DE；

（2）如图2，过E作EF⊥AB于F，若BF＝2，求CE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）4

【解析】

(1)根据SAS证明△ACD≌△BDE，再根据全等三角形的性质即可得DC=DE, 即为所求;
(2)过D作DG⊥CE于G, 过E作EF⊥AB于F，根据等腰直角三角形的性质求出EF的长，根据题意求出∠EDG=∠EDF，根据角平分线的性质求出EG=EF，根据等腰三角形的性质得到答案.

（1）证明：∵AC=BC，∠ACB=90°

∴∠A＝∠B＝45°

在△ACD和△BDE中

∴△ACD≌△BDE（SAS）

∴DC＝DE

（2）解：∵△ACD≌△BDE

∴∠ACD＝∠BDE

∵AC=BC，∠B=45°

∴∠BCD＝∠BDC=67.5°

∴∠ACD＝∠BDE=22.5°

∠CDE＝45°

过D作DG⊥CE于G

∵DC＝DE

∴∠CDG＝∠EDG=22.5°，CG＝EG

∴∠CDG＝∠EDG=∠EDF ＝22.5°

∵DG⊥BC，EF⊥AB，∠B＝45°

∴FE=EG=GC=FB=2

∴CE=2FB=4