Question

【题目】如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3……在射线ON上，点B1、B2、B3……在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形，且OA1＝1．

（1）分别求出△A1B1A2、△A3B3A4的边长；

（2）求△A7B7A8的周长（直接写出结果）．

Answer 1

【答案】（1）1，4；（2）198.

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，可得结论；
（2）由（1）同理得：A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2…进而得出答案．

解：（1）如图，

∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°-120°-30°=30°，
∴∠1=∠MON=30°，
∴A1B1=OA1=1，即△A1B1A2的边长为1；
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°，
∵A2B1=1，
∴A2B2=2A2B1=2，即△A2B2A3的边长为2；
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，
∴A3B3=4B1A2=4，即△A3B3A4的边长为4；
综上，△A1B1A2的边长为1；△A3B3A4的边长为4；
（2）△A7B7A8的周长是198.

解：由（1）同理得：A4B4=8B1A2=8=23，
A5B5=16B1A2=16=24，
以此类推：A7B7=26=64；
∴△A7B7A8的周长=3×64=198．