Question

【题目】（1）如图1，在△ABC中，∠A＜90°，P是BC边上的一点，P1，P2是点P关于AB、AC的对称点，连结P1P2，分别交AB、AC于点D、E．

（1）若∠A＝52°，求∠DPE的度数；

（2）如图2，在△ABC中，若∠BAC＝90°，用三角板作出点P关于AB、AC的对称点P1、P2，（不写作法，保留作图痕迹），试判断点P1，P2与点A是否在同一直线上，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠DPE＝76°；（2）详见解析.

【解析】

（1）利用轴对称的性质证明：∠DPP1+∠EPP2=∠A，根据∠DPE=180°-（∠PDE+∠DEF）计算即可；

（2）点P1，P2与点A在同一条直线上．证明∠PAP1+∠PAP2=180°即可．

解：（1）∵P1，P2是点P关于AB、AC的对称点，
∴PD=P1D，PE=P2E，
∴∠EDP=2∠DPP1，∠DEP=2∠EPP2，
∵∠DPP1+∠DPE+∠EPP2+∠A=180°①，
2∠DPP1+∠DPE+2∠EPP2=180°②
②-①得：∠DPP1+∠EPP2=∠A，
∵∠A=52°，
∴∠DPP1+∠EPP2=52°，
∴∠DPE=180°-（∠PDE+∠DEF）
=180°-2（∠DPP1+∠EPP2）
=180°-104°=76°．

（2）点P1，P2与点A在同一条直线上．

理由如下：连接AP，AP1，AP2．

根据轴对称的性质，可得∠4＝∠1，∠3＝∠2，

∵∠BAC＝90°，即∠1+∠2＝90°，

∴∠3+∠4＝90°，

∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，即∠P1AP2＝180°，

∴点P1，P2与点A在同一条直线上．